Flytte Gjennomsnittet Iid

2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi en autoregressiv term i en tidsseriemodell for variabelen xt er en forsinket verdi på xt For eksempel , et lag 1 autoregressivt uttrykk er x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, betydning at wt er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike ved lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner ved lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av kausalrepresentasjonen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers serien diverges. Using R for Time Series Analysis. Time Series Analysis. This heftet forteller deg hvordan du bruker R statistikkprogramvaren for å utføre enkle analyser som er vanlige ved analyse av tidsseriedata. Dette heftet antar at leseren har litt grunnleggende kunnskap om tidsserieanalyse, og hovedfokuset i heftet er ikke å forklare tidsserieanalyse, men heller til e xplain hvordan å utføre disse analysene ved hjelp av R. Hvis du er ny på tidsserieanalyse, og vil lære mer om noen av konseptene som presenteres her, vil jeg anbefale Open University-boken Tidsserien produktkode M249 02, tilgjengelig fra Open University Shop. In dette heftet vil jeg bruke tidsseriedatasett som har blitt gjort tilgjengelig av Rob Hyndman, i sin Time Series Data Library. Hvis du liker dette heftet, kan du også sjekke ut brosjyren min på ved hjelp av R for biomedisinsk statistikk og min hefte på bruk av R for multivariate analysis. Reading Time Series Data. Det første du vil gjøre for å analysere tidsseriedataene dine, er å lese det inn i R, og å plotte tidsserien Du kan lese data til R ved hjelp av skannefunksjonen, som forutsetter at dataene dine for suksessive tidspunkter er i en enkel tekstfil med en kolonne. For eksempel inneholder filen data om dødsårsaken til suksessive konger i England, som begynner med William Con queror opprinnelige kilde Hipel og Mcleod, 1994. Datasettet ser slik ut. Bare de første linjene i filen har blitt vist De første tre linjene inneholder noen kommentarer på dataene, og vi vil ignorere dette når vi leser dataene inn i R Vi kan bruke dette ved å bruke hoppeparameteren til skannefunksjonen, som angir hvor mange linjer øverst på filen som skal ignoreres. For å lese filen inn i R, ignorerer de tre første linjene, skriver vi. I dette tilfellet er alderen på død av 42 påfølgende konger i England har blitt lest inn i variabelen konger. Når du har lest tidsseriedataene i R, er neste trinn å lagre dataene i en tidsserieobjekt i R, slik at du kan bruke R s mange Funksjoner for å analysere tidsseriedata For å lagre dataene i en tidsserieobjekt bruker vi ts-funksjonen i R For eksempel, for å lagre dataene i variabelkongen som en tidsserieobjekt i R, skriver vi. Noen ganger tidsseriedataene sett som du har kan ha blitt samlet inn med jevne mellomrom som var mindre enn en år, for eksempel månedlig eller kvartalsvis. I dette tilfellet kan du angi antall ganger dataene ble samlet inn hvert år ved å bruke frekvensparameteren i ts-funksjonen. For månedlige tidsseriedata angir du frekvens 12, mens for kvartalsvise tidsserier data angir du frekvens 4. Du kan også spesifisere det første året som dataene ble samlet inn, og det første intervallet i det året ved å bruke startparameteren i ts-funksjonen. For eksempel, hvis det første datapunktet tilsvarer andre kvartal 1986, vil du sette start c 1986,2. Et eksempel er et datasett av antall fødsler per måned i New York City, fra januar 1946 til desember 1959 opprinnelig innsamlet av Newton. Disse dataene er tilgjengelige i filen. Vi kan lese data inn i R, og lagre den som en tidsserieobjekt ved å skrive. På samme måte inneholder filen månedlig salg til en suvenirbutikk på en strandby i Queensland, Australia, for januar 1987-desember 1993 opprinnelige data fra Wheelwright og Hyndman, 1998 Vi kan rea d dataene inn i R ved å skrive. Plotting Time Series. Når du har lest en tidsserie inn i R, er det neste trinnet vanligvis å lage et plott av tidsseriedataene, som du kan gjøre med funksjonen i R. For eksempel, for å plotte tidsserien til dødsaldoen til 42 påfølgende konger i England skriver vi. Vi kan se fra tidssplottet at denne tidsseriene nok kunne beskrives ved hjelp av en additivmodell, siden tilfeldige svingninger i dataene er omtrent konstant i størrelse over tid. Likevel, for å plotte tidsserier av antall fødsler per måned i New York City, skriver vi. Vi kan se fra denne tidsserien at det synes å være sesongvariasjon i antall fødsler per måned det er en topp hver sommer og en trough hver vinter Igjen ser det ut til at denne tidsserien nok kunne beskrives ved hjelp av en additiv modell, da sesongmessige svingninger er omtrent konstant i størrelse over tid og synes ikke å avhenge av tidens nivå serier, og tilfeldige svingninger ser også ut til å b e er omtrentlig konstant i størrelse over tid. På samme måte, for å plotte tidsserien til det månedlige salget til souvenirbutikken på en strandbyby i Queensland, Australia, skriver vi. I dette tilfellet ser det ut til at en additivmodell ikke passer for som beskriver denne tidsseriene, siden størrelsen på sesongmessige svingninger og tilfeldige svingninger ser ut til å øke med tidsspesialnivået. Derfor må vi kanskje forandre tidsserien for å få en transformert tidsserie som kan beskrives ved hjelp av et additiv modell For eksempel kan vi forandre tidsserien ved å beregne den naturlige loggen til de opprinnelige dataene. Her kan vi se at størrelsen på sesongmessige svingninger og tilfeldige svingninger i de loggformede tidsseriene ser ut til å være omtrent konstant over tid, og ikke avhenge av tidsserienivået. Derfor kan de log-transformerte tidsseriene sannsynligvis beskrives ved hjelp av en additiv modell. Komposisjonstidsserie. Ved å komponere en tidsserie betyr det å skille den inn i sin ko nstituent komponenter, som vanligvis er en trendkomponent og en uregelmessig komponent, og hvis det er en sesongmessig tidsserie, en sesongbestandig komponent. Komponenter uten sesongdata. En ikke-sesongmessig tidsserie består av en trendkomponent og en uregelmessig komponent. Dekomponering av tidsserier involverer å prøve å skille tidsseriene inn i disse komponentene, det vil si estimering av trendkomponenten og den uregelmessige komponenten. For å beregne trendkomponenten i en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell, er det vanlig å bruke en utjevningsmetode, for eksempel å beregne det enkle glidende gjennomsnittet av tidsseriene. SMA-funksjonen i TTR R-pakken kan brukes til å glatte tidsseriedata med et enkelt glidende gjennomsnitt. For å bruke denne funksjonen må vi først installere TTR R-pakken for instruksjoner om hvordan du installerer en R-pakke, se Hvordan installere en R-pakke Når du har installert TTR R-pakken, kan du laste inn TTR R-pakken ved å skrive. Du kan da bruke SMA Fungerer for å glatte tidsseriedata For å bruke SMA-funksjonen må du angi rekkefølgen for det enkle glidende gjennomsnittet, ved hjelp av parameteren n For eksempel, for å beregne et enkelt glidende gjennomsnitt av rekkefølge 5, setter vi n 5 i SMA-funksjonen . For eksempel, som omtalt ovenfor, vises tidsserien til dødsaldoen til 42 påfølgende konger i England, ikke-sesongmessig, og kan sannsynligvis beskrives ved hjelp av en additivmodell, siden tilfeldige svingninger i dataene er omtrent konstant i størrelse over tid. Så kan vi prøve å estimere trendkomponenten i denne tidsserien ved å glatte ut ved hjelp av et enkelt glidende gjennomsnitt. For å glatte tidsseriene ved å bruke et enkelt bevegelig gjennomsnitt av rekkefølge 3, og plotte de glatte tidsseriedataene, skriver vi. Der fremdeles ser ut til å være ganske mange tilfeldige fluktuasjoner i tidsserieene utjevnet ved hjelp av et enkelt bevegelig gjennomsnitt av rekkefølge 3. For å estimere trendkomponenten mer nøyaktig, vil vi kanskje prøve å utjevne dataene med et enkelt glidende gjennomsnitt på en høyere rekkefølge Dette tar litt prøve og feil for å finne riktig mengde utjevning. For eksempel kan vi prøve å bruke et enkelt bevegelig gjennomsnitt av ordre 8. Dataene jevnet med et enkelt bevegelig gjennomsnitt av rekkefølge 8 gir et klarere bilde av trendkomponenten, og vi kan se at de engelske kongers dødsår ser ut til å ha gått ned fra om lag 55 år til rundt 38 år under regjering av de første 20 kongene, og deretter økt etter det til ca 73 år gammelt ved slutten av regjeringen til den 40. konge i tidsseriene. Komponering av sesongdata. En sesongmessig tidsrekkefølge består av en trendkomponent, en sesongbestandig komponent og en uregelmessig komponent. Dekomponering av tidsserien betyr å skille tidsseriene inn i disse tre komponentene det vil si estimering av disse tre komponentene. For å beregne trendkomponenten og sesongbestanddelen av en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell, kan vi bruke dekomponeringsfunksjonen i R Denne funksjonen anslår trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter i en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell. Funksjonen dekomponerer returnerer et listobjekt som resultat der estimatene for sesongkomponent, trendkomponent og uregelmessig komponent lagres i navngitte elementer i listen objekter som kalles sesongmessige, trend og tilfeldige. For eksempel, som nevnt ovenfor, er tidsserien av antall fødsler per måned i New York City sesongmessig med en topp hver sommer og gjennom hver vinter, og kan sannsynligvis beskrives ved bruk av en additiv modell siden sesongmessige og tilfeldige fluktuasjoner synes å være omtrent konstant i størrelse over tid. For å estimere trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter i denne tidsserien, skriver vi. Estimerte verdier av sesongmessige, trend og uregelmessige komponenter er nå lagret i variabler birthstimeseriescomponents sesongmessige, birthstimeseriescomponents trend og birthstimeseriescomponents random For eksempel kan vi skrive ut de estimerte verdiene til sesongbestemte komponent ved å skrive. De estimerte sesongfaktorene er gitt for månedene januar til desember, og er de samme for hvert år. Den største sesongfaktoren er for juli om lag 1 46, og den laveste er for februar om -2 08, noe som indikerer at det ser ut til å være en topp i fødselene i juli og en trough i fødsler i februar hvert år. Vi kan plotte den estimerte trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter i tidsseriene ved å bruke plottfunksjonen, for eksempel. Plottet ovenfor viser originalen tidsserien topp, den estimerte trendkomponenten andre fra toppen, den estimerte sesongbestanddelen tredje fra toppen og den estimerte uregelmessige komponentbunnen. Vi ser at den estimerte trendkomponenten viser en liten nedgang fra ca 24 i 1947 til ca 22 i 1948, etterfulgt av en jevn økning fra da til ca 27 i 1959. Sesongjustering. Hvis du har en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell, kan du sesongjustere tidsserien ved å estimere seasonaen l-komponent, og trekker den estimerte sesongkomponenten fra de opprinnelige tidsseriene. Vi kan gjøre dette ved å anslå sesongkomponenten beregnet av nedbrytingsfunksjonen. For eksempel å justere sesongjusteringen av antall fødsler per måned i New York byen, kan vi estimere sesongkomponenten ved å dekomponere, og deretter trekke den sesongbestemte komponenten fra den opprinnelige tidsserien. Vi kan da plotte de sesongjusterte tidsseriene ved hjelp av plottingsfunksjonen ved å skrive. Du kan se at sesongvariasjonen er fjernet fra sesongjusterte tidsserier Den sesongjusterte tidsserien inneholder nå bare trendkomponenten og en uregelmessig komponent. Forutsigelser ved bruk av eksponentiell utjevning. Eksponensiell utjevning kan brukes til å lage kortsiktige prognoser for tidsseriedata. Enkel eksponensiell utjevning. Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell med konstant nivå og ingen sesongmessighet, kan du bruke enkel eksponensiell utjevning for å gjøre kortsiktige prognoser. Den enkle eksponensielle utjevningsmetoden gir en måte å estimere nivået på nåværende tidspunkt. Utjevning styres av parameteren alfa for estimeringen av nivået på nåværende tidspunkt. Verdien av alfa ligger mellom 0 og 1 verdier av alfa som er nær 0 betyr at den lille vekten blir plassert på de siste observasjonene når man lager prognoser for fremtidige verdier. For eksempel inneholder filen totalt årlig nedbør i tommer for London, fra 1813-1912 originale data fra Hipel og McLeod, 1994 Vi kan lese dataene inn i R og plotte den ved å skrive. Du kan se fra plottet at det er omtrent konstant nivå, gjennomsnittet forblir konstant på om lag 25 inches. De tilfeldige svingninger i tidsseriene ser ut til å være omtrent konstant i størrelse over tid, så det er sannsynligvis hensiktsmessig å beskrive dataene ved hjelp av en additivmodell. Dermed kan vi lage prognoser ved hjelp av enkel eksponensiell utjevning. For å gjøre prognoser ved bruk av enkel eksponensiell utjevning i R, kan vi passe på en enkel eksponentiell utjevningsforutsigbar modell ved hjelp av HoltWinters-funksjonen i R For å bruke HoltWinters for enkel eksponensiell utjevning, må vi sette parameterne beta FALSE og gamma FALSE i HoltWinters-funksjonen, beta - og gamma parametrene brukes til Holt s eksponensiell utjevning eller Holt-Winters eksponensiell utjevning, som beskrevet nedenfor. HoltWinters-funksjonen returnerer en listevariabel, som inneholder flere navngitte elementer. For eksempel, for å bruke enkel eksponensiell utjevning for å lage prognoser for tidsserien av årlig nedbør i London, vi type. Utgangen av HoltWinters forteller oss at den estimerte verdien av alfaparameteren er ca. 0 024 Dette er svært nær null, og forteller oss at prognosene er basert på både nyere og mindre nyere observasjoner, selv om det legges noe mer vekt på de siste observasjonene . Som standard gjør HoltWinters bare prognoser for samme tidsperiode som dekkes av våre originale tidsserier. I dette tilfellet er våre originale tidsserier inc luded nedbør for London fra 1813-1912, så prognosene er også for 1813-1912.I eksemplet ovenfor har vi lagret produksjonen av HoltWinters-funksjonen i listevariabelen rainseriesforecasts. Prognosene fra HoltWinters lagres i et navngitt element av denne listevariabelen kalles utstyrt, slik at vi kan få sine verdier ved å skrive. Vi kan plotte de opprinnelige tidsserien mot prognosene ved å skrive. Plottet viser de opprinnelige tidsseriene i svart, og prognosene som en rød linje Tidsseriene for prognoser er mye jevnere enn tidsserien til de opprinnelige dataene her. Som et mål på nøyaktigheten av prognosene kan vi beregne summen av kvadratfeil for prognoseproblemene, det vil si prognosefeilene for tidsperioden dekket av våre originale tidsserier Sum-of-squared-feilene lagres i et navngitt element i listen variabelen rainseriesforecasts kalt SSE, slik at vi kan få verdien ved å skrive. Det er her sum-of-squared-feilene er 1828 855. Det er vanlig i enkel eksponensiell utjevning for å bruke den første verdien i tidsseriene som den opprinnelige verdien for nivået For eksempel i tidsserier for nedbør i London, er den første verdien 23 56 inches for nedbør i 1813 Du kan angi startverdien for nivået i HoltWinters-funksjonen ved å bruke parameteren For eksempel, for å lage prognoser med den opprinnelige verdien av nivået satt til 23 56, skriver vi. Som forklart ovenfor, utgjør HoltWinters som standard bare prognoser for tidsperioden dekket av de opprinnelige dataene , som er 1813-1912 for nedbørstidsserien Vi kan lage prognoser for ytterligere tidspunkter ved å bruke funksjonen i R-prospektpakken For å bruke funksjonen må vi først installere prognosen R-pakken for instruksjoner om hvordan du installerer en R pakke, se Hvordan installere en R-pakke. Når du har installert prognosen R-pakken, kan du laste inn prognosen R-pakken ved å skrive. Når du bruker funksjonen, som den første argumentinngangen, sender du den forutsigbare modellen som y ou har allerede montert ved hjelp av HoltWinters-funksjonen. For eksempel i tilfelle av nedbørstidsserien lagret vi den prediktive modellen laget ved hjelp av HoltWinters i variabelen rainseriesforecasts Du angir hvor mange flere tidspunkter du vil lage prognoser for ved hjelp av h-parameteren i For eksempel å lage en prognose for nedbør for årene 1814-1820 8 flere år ved å bruke vi skriver. Funksjonen gir deg prognosen for et år, et 80 prediksjonsintervall for prognosen, og et 95 prediksjonsintervall for prognosen For For eksempel er det prognose nedbør for 1920 ca 24 68 tommer, med et 95 prediksjonsintervall på 16 24, 33 11. For å plotte de forutsetningene som er gjort av vi kan bruke funksjonen. Her prognosene for 1913-1920 er plottet som en blå linje , 80 prediksjonsintervallet som et oransje skyggelagt område og 95-prediksjonsintervallet som et gul skygget område. Prognosefeilene beregnes som de observerte verdiene minus predikte verdier, for hvert tidspunkt. Vi kan kun beregne fo omarbeidsfeil for tidsperioden dekket av vår opprinnelige tidsserie, som er 1813-1912 for nedbørsdataene Som nevnt ovenfor er et mål på nøyaktigheten av den prediktive modellen summen av kvadratfeilene SSE for prøven prognosefeil. Forprosjonsprognosefeilene lagres i de oppnådde elementresiduene i listevariabelen returnert av Hvis den prediktive modellen ikke kan forbedres, bør det ikke være noen korrelasjoner mellom prognosefeil for etterfølgende forutsigelser. Med andre ord, hvis det er korrelasjoner mellom prognosefeil for suksessive prognoser, er det sannsynlig at de enkle eksponensielle utjevningsprognosene kan forbedres ved hjelp av en annen prognostiseringsteknikk. For å finne ut om dette er tilfelle, kan vi få et korrelogram av prognoseproblemene for lags 1- 20 Vi kan beregne et korrelogram av prognosefeilene ved hjelp av acf-funksjonen i R For å spesifisere maksimal lagring som vi vil se på, bruker vi parameteren i acf. For eksempel, for å beregne et korrelogram av prognosefeilene for London-nedbørsdata for lags 1-20, skriver vi. Du kan se fra prøvekorrelogrammet at autokorrelasjonen ved lag 3 bare berører signifikansgrensene. For å teste om det er vesentlig bevis for at ikke-null korrelasjoner på lags 1-20, kan vi utføre en Ljung-Box test Dette kan gjøres i R ved hjelp av funksjonen Maksimal lagring som vi vil se på er spesifisert ved hjelp av lag parameter i funksjonen For eksempel, for å teste om det ikke er null-autokorrelasjoner på lags 1-20, for prognosefeilene for London nedbørsdata, skriver vi. Her er Ljung-Box-teststatistikken 17 4 og p-verdien er 0 6, så det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognoseproblemene ved lags 1-20. For å være sikker på at den prediktive modellen ikke kan forbedres, er det også en god ide å sjekke om prognosefeilene er normalt fordelt med gjennomsnittlig null og konstant varians For å sjekke om foreca st feil har konstant varians, kan vi lage en tidssplott av prognosefeilene. Projektet viser at prognosefeilene i proppen ser ut til å ha omtrent konstant variasjon over tid, selv om størrelsen på svingningene i starten av tidsseriene 1820-1830 kan være litt mindre enn det på senere datoer, f. eks. 1840-1850.Til å sjekke om prognosefeilene normalt er fordelt med gjennomsnittlig null, kan vi plotte et histogram av prognosefeilene, med en overlaid normal kurve som har betyde null og samme standardavvik som fordeling av prognosefeil For å gjøre dette kan vi definere en R-funksjon plotForecastErrors nedenfor. Du må kopiere funksjonen over til R for å kunne bruke den. Du kan deretter bruke plotForecastErrors til å plotte et histogram med overlaid normal kurve av prognosefeilene for nedbørsprognosene. Plottet viser at fordelingen av prognosefeil er omtrentlig sentrert på null, og er mer eller mindre normalt fordelt, selv om det synes å være slett Tvert skjev til høyre i forhold til en normal kurve. Imidlertid er riktig skrå relativt liten, og det er så trolig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null. Ljung-Box-testen viste at det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognosefeilene, og fordelingen av prognosefeil ser ut til å være normalt fordelt med middel null. Dette antyder at den enkle eksponensielle utjevningsmetoden gir en tilstrekkelig prediktiv modell for nedbør i London, som sannsynligvis ikke kan forbedres. Videre antas forutsetningene at intervjuene mellom 80 og 95 var basert på at det ikke er noen autokorrelasjoner i prognosefeilene, og prognosefeilene er normalt fordelt med gjennomsnittlig null og konstant varians er sannsynligvis gyldig. Det er eksponentiell utjevning. Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell med økende eller avtagende trend og ingen sesongmessighet, kan du bruke Holts eksponensielle utjevning til m ake kortsiktige prognoser. Holts eksponensielle utjevning anslår nivået og hellingen ved nåværende tidspunkt. Utjevning styres av to parametere, alfa, for estimat av nivået ved nåværende tidspunkt og beta for estimatet av skråningen b av trendkomponenten på det nåværende tidspunktet Som ved enkel eksponensiell utjevning har parametrene alfa og beta verdier mellom 0 og 1, og verdier som er nær 0 betyr at den lille vekten er plassert på de siste observasjonene når man gjør prognoser for fremtiden verdier. Et eksempel på en tidsserie som sannsynligvis kan beskrives ved hjelp av en tilsetningsmodell med en trend og ingen sesongmessighet, er tidsserien til den årlige diameteren av kvinners skjørt i hagen, fra 1866 til 1911. Dataene er tilgjengelige i filen originale data fra Hipel og McLeod, 1994. Vi kan lese inn og plotte dataene i R ved å skrive. Vi kan se fra plottet at det var en økning i hemdiameter fra ca 600 i 1866 til ca 1050 i 1880, og at etterpå s hemmet diameter redusert til ca 520 i 1911. For å gjøre prognoser, kan vi passe en forutsigbar modell ved hjelp av HoltWinters-funksjonen i R For å bruke HoltWinters for Holts eksponensielle utjevning, må vi sette parameteren gamma FALSE gamma parameteren brukes til Holt-Winters eksponensiell utjevning, som beskrevet nedenfor. For eksempel, for å bruke Holts eksponensielle utjevning for å passe til en prediktiv modell for skjørtet diameter, skriver vi. Den estimerte verdien av alfa er 0 84, og av beta er 1 00 Disse er begge høyt, og forteller oss at både estimatet av nåverdien av nivået og hellingen b av trendkomponenten er basert hovedsakelig på svært nylige observasjoner i tidsseriene. Dette gir god intuitiv følelse, siden nivået og hellingen til tidsserieene endrer seg ganske mye over tid Verdien av sum-of-squared-feilene for prognosefeilene er 16954. Vi kan plotte de opprinnelige tidsseriene som en svart linje med de prognostiserte verdiene som en rød linje på toppen av det ved å skrive. W e kan se fra bildet at prognosene for prognosene er ganske gode med de observerte verdiene, selv om de har en tendens til å ligge bak de observerte verdiene litt. Hvis du ønsker, kan du angi startverdiene for nivået og skråningen b av trendkomponenten ved hjelp av og argumenter for HoltWinters-funksjonen. Det er vanlig å sette innledningsverdien til nivået til den første verdien i tidsserien 608 for skjørtdataene, og den opprinnelige verdien av skråningen til den andre verdien minus den første verdien 9 for skjørtdataene For eksempel, for å passe en forutsigbar modell til skjørtets data ved hjelp av Holts eksponensielle utjevning, med innledende verdier på 608 for nivået og 9 for skråningen b av trendkomponenten, skriver vi. For enkel eksponensiell utjevning kan vi lage prognoser for fremtidige tider som ikke er dekket av de opprinnelige tidsseriene, ved å bruke funksjonen i prognosen. For eksempel var våre tidsseriedata for skjørtbom i 1866 til 1911, slik at vi kan lage prognoser for 1912 til 1930 19 flere datapunkter, og plott dem ved å skrive. Prognosene vises som en blå linje med de 80 prediksjonsintervallene som et oransje skyggelagt område og de 95 prediksjonsintervaller som et gult skyggelagt område. Som for enkel eksponensiell utjevning, vi kan sjekke om den prediktive modellen kan forbedres ved å sjekke om prognoseproblemene i prøven viser ikke-null autokorrelasjoner ved lag 1-20. For eksempel på skjørtet data kan vi lage et korrelogram og utføre Ljung - Box-test ved å skrive. Her viser korrelogrammet at prøveautokorrelasjonen for prognosefeilene ved lag 5 overskrider signifikansgrensene. Vi forventer imidlertid at en av 20 autokorrelasjoner for de første tjue lagene vil overstige 95-betydningen grenser ved en tilfeldighet alene Faktisk, når vi utfører Ljung-Box-testen, er p-verdien 0 47, noe som indikerer at det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognoseproblemene ved lags 1-20. Som for enkel eksponensiell smoothin g, vi bør også sjekke at prognosefeilene har konstant varians over tid og blir normalt distribuert med gjennomsnittlig null. Vi kan gjøre dette ved å lage en tidssplott av prognosefeil og et histogram av fordelingen av prognosefeil med en overlaid normal kurve. Tidsplanen av prognosefeil viser at prognosefeilene har omtrent konstant variasjon over tid. Histogrammet av prognosefeil viser at det er troverdig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null og konstant varians. Derfor viser Ljung-Box-testen at det er lite bevis på autokorrelasjoner i prognosefeilene, mens tidsdiagrammet og histogrammet av prognosefeil viser at det er troverdig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null og konstant varianse. Derfor kan vi konkludere med at Holts eksponensielle utjevning gir en tilstrekkelig prediktiv modell for skjørtet diametre, som sannsynligvis ikke kan forbedres på I tillegg betyr det at forutsetningene tha t de 80 og 95 prediksjonsintervaller som er basert på, er sannsynligvis gyldige. Holt-Winters eksponensiell utjevning. Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell med økende eller redusert trend og sesongmessighet, kan du bruke Holt-Winters eksponensiell utjevning for å gjøre kortsiktige prognoser. Holt-Winters eksponensiell utjevning anslår nivået, skråningen og sesongkomponenten på det nåværende tidspunktet. Utjevning styres av tre parametere alfa, beta og gamma for estimatene av nivået, banehelling b av trenden komponenten og sesongkomponenten på det nåværende tidspunktet Parametrene alfa, beta og gamma har alle verdier mellom 0 og 1, og verdier som er nær 0 betyr at relativt liten vekt er plassert på de siste observasjonene når man lager prognoser for fremtidige verdier. Et eksempel på en tidsserie som sannsynligvis kan beskrives ved hjelp av en additivmodell med en trend og sesongmessighet, er tidsserien til loggen av månedlig salg for Souvenirbutikken på en strandbyby i Queensland, Australia, diskutert ovenfor. For å gjøre prognoser kan vi passe en forutsigbar modell ved hjelp av HoltWinters-funksjonen. For eksempel, for å passe en forutsigbar modell for loggen av det månedlige salget i souvenirbutikken, vi De estimerte verdiene for alfa, beta og gamma er henholdsvis 0 41, 0 00 og 0 96. Verdien av alfa 0 41 er relativt lav, noe som indikerer at estimatet av nivået på nåværende tidspunkt er basert på begge nylige observasjoner og noen observasjoner i den fjernere fortiden Verdien av beta er 0 00, noe som indikerer at estimatet av skråningen b av trendkomponenten ikke oppdateres over tidsserien, og i stedet settes lik den opprinnelige verdien. Dette gir god intuitiv følelse, siden nivået endres litt over tidsserien, men helling b av trendkomponenten forblir omtrent det samme. I motsetning er verdien av gamma 0 96 høy, noe som indikerer at estimatet av sesongkomponenten på det nåværende tidspunktet poin t er bare basert på svært nylige observasjoner. Som for enkel eksponensiell utjevning og Holts eksponensielle utjevning, kan vi plotte de opprinnelige tidsseriene som en svart linje med de prognostiserte verdiene som en rød linje på toppen av det. Vi ser fra plottet at Holt-Winters eksponentielle metode har stor suksess med å forutse sesongmessige toppene, som forekommer omtrent i november hvert år. For å gjøre prognoser for fremtidige tider ikke inkludert i de opprinnelige tidsseriene, bruker vi funksjonen i prognosepakken. Opprinnelige data for souvenirsalg er fra januar 1987 til desember 1993 Hvis vi ønsket å lage prognoser for januar 1994 til desember 1998 48 flere måneder, og plotte prognosene, ville vi skrive. Prognosene vises som en blå linje, og oransje og gule skyggefulle områder viser henholdsvis 80 og 95 prediksjonsintervaller. Vi kan undersøke om den prediktive modellen kan forbedres ved å sjekke om prognosefeilene i prøven viser ikke-null autokorrelasjoner ved l ags 1-20, ved å lage et korrelogram og utføre Ljung-Box testen. Korrelogrammet viser at autokorrelasjonene for prognosefeilene ikke overskrider signifikansgrensene for lags 1-20 Videre er p-verdien for Ljung - Box test er 0 6, noe som indikerer at det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner ved lag 1-20.Vi kan sjekke om prognosefeilene har konstant varians over tid, og fordeles normalt med gjennomsnittlig null ved å lage en tidsplan av prognosefeilene og et histogram med overlaid normal kurve. Fra tidsplanen ser det ut til at prognosefeilene har konstant varians over tid. Fra histogrammet av prognosefeil synes det antagelig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null. Dermed er det lite bevis på autokorrelasjon ved lags 1-20 for prognosefeilene, og prognosefeilene ser ut til å være normalt fordelt med gjennomsnittlig null og konstant variasjon over tid. Dette antyder at Holt-Winters eksponerer tial utjevning gir en tilstrekkelig prediktiv modell av salgsloggen i souvenirbutikken, som sannsynligvis ikke kan forbedres. Videre er forutsetningene som forutsigelsesintervallene var basert på, trolig gyldige. ARIMA-modeller. Eksponensielle utjevningsmetoder er nyttige for å lage prognoser, og gjør ingen forutsetninger om sammenhengen mellom suksessive verdier av tidsserien. Hvis du imidlertid ønsker å foreta forutsigelsesintervaller for prognoser utført ved bruk av eksponentielle utjevningsmetoder, krever forutsigelsesintervallene at prognosefeilene er ukorrelerte og normalt fordelt med gjennomsnittlig null og konstant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of at ime series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a s tationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The n ext step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a s tationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the au tocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Ex ample of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correl ogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero af ter lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years , since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefo re, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to p redict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would ex pect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Tim e Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk. Can you give some real-life examples of time series for which a moving average process of order q , i e yt sum q thetai varepsilon varepsilont, text varepsilont sim mathcal 0, sigma 2 has some a priori reason for being a good model At le ast for me, autoregressive processes seem to be quite easy to understand intuitively, while MA processes do not seem as natural at first glance Note that I am not interested in theoretical results here such as Wold s Theorem or invertibility. As an example of what I am looking for, suppose that you have daily stock returns rt sim text 0, sigma 2 Then, average weekly stock returns will have an MA 4 structure as a purely statistical artifact. asked Dec 3 12 at 19 02. Basj In the US, stores and manufacturers frequently issue coupons that can be redeemed for a financial discount or rebate when purchasing a product They are often widely distributed through mail, magazines, newspapers, the internet, directly from the retailer, and mobile devices such as cell phones Most coupons have an expiration date after which they will not be honored by the store, and this is what produces vintages Coupons possibly boost sales, but how many there are out there or how big the rebate is not always known to t he data analyst You can think of them a positive errors Dimitriy V Masterov Jan 28 16 at 21 51.in our article Scaling portfolio volatility and calculating risk contributions in the presence of serial cross-correlations we analyze a multivariate model of asset returns Due to different closing times of the stock exchanges a dependence structure by the covariance appears This dependence only holds for one period Thus we model this as a vector moving average process of order 1 see pages 4 and 5.The resulting portfolio process is a linear transformation of an VMA 1 process which in general is an MA q process with q ge1 see details on pages 15 and 16.answered Dec 3 12 at 21 39.